library(tibble)
library(dplyr)
library(ggplot2)

Introducció

Sovint, tenim informació suplementària que ens pot ajudar a dissenyar la nostra mostra. Per exemple, abans de dur a terme una enquesta sabríem que els homes generalment guanyen més que les dones, que els residents de Barcelona paguen més per l’habitatge que els residents de Solsona o que els residents rurals compren queviures amb menys freqüència que els residents urbans.

Si la variable que ens interessa pren valors mitjans diferents en diferents subpoblacions, és possible que puguem obtenir estimacions més precises de les quantitats de població prenent una mostra aleatòria estratificada. La paraula “estratificar” significa “organitzar o dipositar en capes”: dividim la població en H subpoblacions, anomenades estrats. Els estrats no se superposen i constitueixen tota la població, de manera que cada unitat de mostreig pertany exactament a un estrat. Extreiem una mostra probabilística independent de cada estrat i després ajuntem la informació per obtenir estimacions globals de la població.

Referències

  • S.L. Lohr, Sampling Design and Analysis, 3rd. Edition, 2022.
  • Y, Lu & S.L. Lohr, R Companion for Sampling Design and Analysis, 2022.

Raons per emprar el mostreig estratificat

Utilitzem el mostreig estratificat per una o més de les següents raons.

  1. Volem estar protegits de la possibilitat d’obtenir una mostra realment dolenta. Quan es pren un SRS de mida 100 d’una població de 1.000 estudiants masculins i 1.000 estudiants femenines, obtenir una mostra sense o amb molt pocs homes és teòricament possible, tot i que no és probable que es produeixi una mostra d’aquest tipus. La majoria de la gent no consideraria que aquesta mostra sigui representativa de la població i es preocuparia que els homes i les dones puguin respondre de manera diferent a l’element d’interès. En una mostra estratificada, es pot prendre un SRS de 50 homes i un SRS independent de 50 dones, garantint que la proporció d’homes a la mostra sigui la mateixa que la de la població. Amb aquest disseny, no es pot seleccionar una mostra sense o amb pocs homes.
  2. És possible que vulguem dades de precisió coneguda per a subgrups de la població. Aquests subgrups haurien de ser els estrats. McIlwee i Robinson (1992) van prendre mostres de graduats de programes d’enginyeria elèctrica i mecànica a universitats públiques del sud de Califòrnia. Estaven interessats a comparar les experiències educatives i laborals dels graduats masculins i femenins, de manera que van estratificar el seu marc de mostreig per sexe i van prendre mostres aleatòries separades de graduats masculins i femenins. Com que hi havia molts més graduats homes que dones, van mostrejar una fracció més alta de graduades dones que de graduats homes per tal d’obtenir precisions comparables per als dos grups.
  3. Una mostra estratificada pot ser més convenient d’administrar i pot resultar en un cost més baix per a l’enquesta. Per exemple, els marcs de mostreig es poden construir de manera diferent en diferents estrats, o es poden utilitzar diferents dissenys de mostreig o procediments de camp. En una enquesta a empreses, es pot utilitzar una enquesta per Internet per a grans empreses, mentre que una enquesta per correu o telèfon s’utilitza per a petites empreses. En altres enquestes, es pot utilitzar un procediment diferent per mostrejar llars en estrats urbans que en estrats rurals.
  4. El mostreig estratificat sovint dóna estimacions més precises (amb menor variància) per a les mitjanes i els totals de la població. Les persones de diferents edats tendeixen a tenir diferents pressions arterials, per la qual cosa en un estudi de pressió arterial seria útil estratificar per grups d’edat. Si s’estudia la concentració de plantes en una zona, s’estratificaria per tipus de terreny; els aiguamolls tindrien plantes diferents que els boscos. L’estratificació funciona per reduir la variància perquè la variància dins de cada estrat sovint és inferior a la variància en tota la població. Els coneixements previs es poden utilitzar per estalviar diners en el procediment de mostreig.

Teoria del mostreig estratificat

Dividim la població de \(\small N\) unitats de mostreig en \(\small H\) “capes” o estrats, amb \(\small N_h\) unitats de mostreig a l’estrat \(h\). Perquè el mostreig estratificat funcioni, hem de conèixer la pertinença a l’estrat per a cada unitat de la població. Per tant, coneixem els valors de \(\small\{N1, N2,…, N_H\}\), i, com que cada unitat de població es troba exactament en un estrat, \(\small N_1 + N_2 + …N_H = N\).

En el mostreig aleatori estratificat, la forma més simple de mostreig estratificat, prenem independentment un SRS de cada estrat, de manera que \(\small n_h\) observacions es seleccionen aleatòriament de les \(\small N_h\) unitats de població de l’estrat h. La mida total de la mostra és \(\small n = n_1 + n_2 + … + n_H\).

La taula defineix la notació utilitzada per al mostreig aleatori estratificat. Les estadístiques i les mides de mostra per a l’estrat \(\small h\) tenen el subíndex \(\small h\), de manera que \(\small\bar y_{h\mathcal U}\) és la mitjana de la població a l’estrat \(\small h\), \(\small\bar y_h\) és la mitjana mostral a l’estrat \(\small h\), i de manera similar per a altres quantitats.

Valors poblacionals:

Símbol Fórmula Descripció
\(N_h\) Nombre d’unitats poblacionals al stratum h
\(y_{hj}\) Valor de la unitat \(j_{th}\) al stratum h
\(t_h\) \(\small ∑_{j=1}^{N_h} y_{hj}\) Població total al stratum h
\(t\) \(\small∑_{h=1}^H t_h\) Població total global
\(\bar y_{h\mathcal U}\) \(\small t_h/N_h = 1/N_h∑_{j=1}^{N_h}y_{hj}\) Mitjana de població al stratum h
\(\bar y_\mathcal U\) \(t/N=1/N∑_{h=1}^{H} ∑_{j=1}^{N_h}y_{hj}\) Mitjana global població
\(S^2h\) \(\frac{1}{N_h−1}∑_{j=1}^{N_h}(y_{hj} −\bar y_{h\mathcal U})^2\) Variància de la població al stratum h

Valors mostrals:

Símbol Fórmula Descripció
\(\mathcal S_h\) Conjunt d’unitats de l’stratum h incloses a la mostra
\(n_h\) Mida de la mostra agafada a l’stratum h
\(n\) \(∑_{h=1}^H n_h\) Mida total de la mostra, de tots els strata
\(\hat y_h\) \(1/n_h∑_{j∈S_h}y_{hj}\) Mitjana mostral a l’stratum h
\(\hat t_h\) \(N_h/n_h ∑_{j∈\mathcal S_h}y_{hj} = N_h\bar y_h\) Població total estimada de l’stratum h
\(s_h^2\) \(\frac{1}{n_{h}−1} ∑_{j∈\mathcal S_h}(y_{hj} − \bar y_h)^2\) Variància mostral a l’stratum h

Suposem que només mostregem l’estrat \(\small h\)-èsim: és a dir, tenim una població de \(\small N_h\) unitats i agafem una mostra SRS de \(\small n_h\) unitats. Estimarem llavors \(\small\bar y_{h\mathcal U}\) mitjançant \(\small\bar y_h\), i \(t_h\) mitjançant \(\small\hat t_h = N_h\bar y_h\).

El total per a tota la població és, com hem vist a la taula, \(\small t =∑_{h=1}^Ht_h,\), llavors estimarem \(\small t\) amb \[ \small\hat t_{str} = ∑_{h=1}^H\hat t_h = ∑_{h=1}^H N_h\overline y_h.\tag{1.} \] Per a estimar \(\small\bar y_\mathcal U\), llavors emprarem \[ \small\overline y_{str} =\frac{\hat t_{str}}N=∑_{h=1}^H \frac{N_h} N\overline y_h.\tag{2.} \]

Aquesta és una mitjana ponderada de les mitjanes de l’estrat mostral; \(\small\overline y_h\) es multiplica per \(\small N_h/N\), la proporció de les unitats de població a l’estrat \(\small h\). Cal tenir en compte que (1.) requereix conèixer les mides dels estrats poblacionals \(\small N_h\) i (2.) requereix conèixer les mides relatives Nh/N.

Les propietats d’aquests estimadors es deriven directament de les propietats dels estimadors SRS:

  • No esbiaix. \(\small\overline y_{str}\) i \(\small\hat t_{str}\) són estimadors imparcials de \(\small\overline y_\mathcal U\) i \(\small t\). Es pren un SRS a cada estrat, de manera que implica que \(\small E[\overline y_h] =\overline y_{h\mathcal U}\) i, en conseqüència, \[ \small E\bigg[∑_{h=1}^N \frac {N_h}N \overline y_h \bigg] = \overline y_{\mathcal U} \] Això és una mitjana ponderada de les mitjanes de l’estrat mostral; \(\small y_h\) es multiplica per Nh/N, la proporció de les unitats de població a l’estrat h. Cal tenir en compte que (3.1) requereix conèixer les mides de l’estrat poblacional Nh i (3.2) requereix conèixer les mides relatives Nh/N. Les propietats d’aquests estimadors es deriven directament de les propietats dels estimadors SRS:
  • Variància dels estimadors1: La clau per calcular la variància és que les mostres de diferents estrats es seleccionen independentment: saber quines unitats es mostregen a l’estrat h no dóna informació sobre quines unitats es mostregen dels altres estrats. Com que coneixem \(\small V (\hat t_h)\) de la teoria SRS2, i tots els \(\small\hat t_h\) són mútuament independents, això implica que la variància sobre els totals serà: \[ \small V (\hat t_{str}) = ∑_{h=1}^H V(\hat t_h) =∑_{h=1}^H \bigg(1 − \frac{n_h}{N_h}\bigg) N_h^2 \frac{S_h^2}{n_h}\tag{3.} \] i que la variància sobre les mitjanes serà: \[ \small V (\overline y_{str}) = \frac{1}{N^2} V(\hat t_{str})= ∑_{h=1}^H V(\hat t_h)\frac{1}{N^2} =∑_{h=1}^H \bigg(1 − \frac{n_h}{N_h}\bigg) \bigg(\frac{N_h}{N}\bigg)^2 \frac{S_h^2}{n_h} \tag{4.} \]
  • Variances estimades i errors estàndard per a mostres estratificades. Podem obtenir estimadors no esbiaixats de \(\small V(\hat t_{str})\) i \(\small V(\overline y_{str})\) substituint les variàncies mostrals \(\small s_h^2\) en lloc de les variàncies poblacionals \(\small S_h^2\) (3.) i (4.). Cal tenir en compte que hem de mostrejar com a mínim dues unitats de l’estrat \(\small h\) per poder calcular \(\small s_h^2 = ∑_{j∈\mathcal S_h} (y_{hj} − \overline y_h)^2/(n_h − 1).\)
  • Com sempre, l’Error estàndard (SE) serà l’arrel quadrada de la variància estimada de la mitjana: \(SE(\overline y_{str})=\sqrt{\hat V(\overline y_{str})}\).
  • Intervals de confiança per a mostres estratificades. Tant si (1) les mides de la mostra dins de cada estrat són grans, com si (2) el disseny de mostreig té un gran nombre d’estrats, un interval de confiança (IC) aproximat del \(\small 100(1 − α)\%\) per a la mitjana poblacional \(\small\overline y_\mathcal U\) és \[ \small\overline y_{str} ± z_{α/2} SE (\overline y_{str}). \]

Mostreig estratificat per a proporcions

Com ja vam veure en capítols anteriors de la sèrie, una proporció és una mitjana d’una variable binomial que només pot prendre els valors 0 o 1. Per fer inferències sobre proporcions, només hem d’agafar els resultats anteriors considerant \(\small\hat y_h=\hat p_h\) i \(\small s_h^2=\frac{n_h}{n_h-1}\hat p_h(1-\hat p_h)\). Llavors \[ \small\hat p_{str}=\sum_{h=1}^H\frac{H_h}H \hat p_h\tag{2.1} \] i \[ \small\hat V(\hat p_{str})=\sum_{h=1}^H \bigg(1-\frac{n_h}{N_h} \bigg) \bigg(\frac{N_h}N\bigg)^2 \frac{\hat p_h(1-\hat p_h)}{n_h-1}\tag{4.1} \] Estimar la població total amb una característica determinada és \[ \small\hat t_{str}=\sum_{h=1}^HN_h\hat p_h \] la suma total del nombre de les unitats estimades amb aquestes característiques a cada stratum.

Demanera similar, serà \[ \hat V(\hat t_{str}) = N^2\hat V(\hat p_{str}). \]

Ponderació mostral en el mostreig aleatori estratificat

Hem introduït la noció de pes de mostreig, \(\small w_i = 1/π_i\), al número anterior de la sèrie (veure Tècniques de mostreig: mostres aleatòries simples (SRS)). Per a un SRS, el pes mostral per a cada observació és el mateix, ja que totes les probabilitats d’inclusió \(\small π_i\) són iguals. En el mostreig estratificat, però, podem tenir diferents probabilitats d’inclusió en diferents estrats, de manera que els pesos poden ser desiguals per a alguns dissenys de mostreig estratificat.

L’estimador de mostreig estratificat \(\small\hat t_{str}\) es pot expressar com una suma ponderada de les unitats de mostreig individuals, tal com hem vist a \((1.)\).

\[ \small\hat t_{str} = ∑_{h=1}^H N_h\overline y_h;~\overline y_h=y_{hj}/n_h ~=>~ \hat t_{str}= ∑_{h=1}^H∑_{j∈\mathcal S_h}\frac{N_h}{n_h}y_{hj} \] de manera que l’estimador de població total en mostreig estratificat pot ser escrit com

\[ \small \hat t_{str}= ∑_{h=1}^H∑_{j∈\mathcal S_h}w_hj {n_h}y_{hj} \] on el pes mostral per unitat \(\small j\) és \(\small w_{hj}=(N_h/n_h).\)

El pes de mostreig es pot considerar de nou com el nombre d’unitats de la població representada pel membre de la mostra \(\small y_{hj}\).

Tingueu en compte que la probabilitat d’incloure la unitat \(\small j\) de l’estrat \(\small h\) a la mostra és \(\small π_{hj} = n_h/N_h\), la fracció de mostreig a l’estrat \(\small h\). Així, com abans, el pes de mostreig és simplement el recíproc de la probabilitat d’inclusió: \[ w_{hj}=\frac{1}{\pi_{hj}} \]

La suma dels pesos de mostreig en el mostreig aleatori estratificat és igual a la mida de la població N; cada unitat mostrejada a l’estrat h “representa” \(\small N_h/n_h\) la població, de manera que tota la mostra “representa” tota la població. En una mostra aleatòria estratificada, la mitjana de la població s’estima per tant mitjançant:

\[ \small\bar y_{str} = \frac{∑_{h=1}^H∑_{j∈\mathcal S_h} w_{hj}y_{hj}} {∑_{h=1}^H∑_{j∈\mathcal S_h} w_{hj}}. \tag{5.} \]

Assignació d’observacions als estrats

Fins ara, simplement hem analitzat dades d’una enquesta que algú altre ha dissenyat. Dissenyar l’enquesta és la part més important de l’ús d’una enquesta en la recerca: si l’enquesta està mal dissenyada, cap anàlisi no proporcionarà la informació necessària. El disseny de l’enquesta inclou mètodes per controlar els errors no mostrals, així com els errors mostrals. Més endavant tractarem els problemes de disseny per a l’error no mostral. Aquí discutim les característiques del disseny que afecten l’error mostral.

El mostreig aleatori simple implicava una característica de disseny: la mida de la mostra. Per al mostreig aleatori estratificat, cal definir els estrats i després decidir quantes observacions mostrejar a cada estrat. És una mica més fàcil veure aquests passos en ordre invers, així que comencem amb els mètodes d’assignació d’observacions a estrats que ja s’han definit.

Assignació proporcional

Si estem prenent una mostra estratificada per assegurar-nos que la mostra reflecteixi la població respecte a la variable d’estratificació i volem que la vostra mostra sigui una versió en miniatura de la població, cal utilitzar l’assignació proporcional.

En l’assignació proporcional, anomenada així perquè el nombre d’unitats mostrejades a cada estrat és proporcional a la mida de l’estrat, la probabilitat d’inclusió per a la unitat \(j\) a l’estrat \(h\), \(\smallπh_j = n_h/N_h\), és la mateixa \((\small = n/N)\) per a tots els estrats. En una població de 2.400 homes i 1.600 dones, l’assignació proporcional amb una mostra del 10% especia mostreja 240 homes i 160 dones. Així, la probabilitat que un individu sigui seleccionat per formar part de la mostra, n/N, és la mateixa que en un SRS, però moltes de les mostres “dolentes” que podrien aparèixer en un SRS (per exemple, una mostra en què les 400 persones són homes) no es poden seleccionar en una mostra estratificada amb assignació proporcional.

Amb l’assignació proporcional, cada unitat de la mostra representa el mateix nombre d’unitats de la població. En el nostre exemple, cada home de la mostra representa 10 homes de la població i cada dona representa 10 dones de la població. El pes mostral per a cada unitat de la mostra és, doncs, igual a 10, i l’estimador de mostreig estratificat de la mitjana de la població és simplement la mitjana de totes les observacions. L’assignació proporcional, doncs, resulta en una mostra autoponderant, on \(\small\bar y_{str}\) és la mitjana de totes les observacions de la mostra.

Quan els estrats són prou grans, la variància de \(\small\bar y_{str}\) amb assignació proporcional sol ser com a màxim tan gran com la variància de la mitjana mostral d’un SRS amb el mateix nombre d’observacions. Això és cert independentment de com de absurd pugui ser l’esquema d’estratificació i és demostrable3.

Assignació òptima

Si les variàncies \(\small S_h^2\) són més o menys iguals en tots els estrats, l’assignació proporcional és probablement la millor assignació per augmentar la precisió. En els casos en què els \(\small S_h^2\) varien molt entre els estrats, l’assignació òptima pot resultar en una major precisió o costos més baixos. A la pràctica, quan mostrejem unitats de diferents mides, és probable que les unitats més grans siguin més variables que les unitats més petites, i les mostrejaríem amb una fracció de mostreig més alta.

L’assignació òptima assigna unitats als estrats per tal de minimitzar \(\small\bar V(y_{str})\) per a un cost total fix \(\small C\), o, equivalentment, per minimitzar \(\small C\) per a un \(\small\bar V(y_{str})\) fix. Per a qualsevol minimització, l’assignació òptima té \(\small n_h\) proporcional a \(\small N_hS_h/\sqrt{c_h}\) per a cada \(\small h\). Així, la mida òptima de la mostra a l’estrat \(\small h\) és \[ \small n_h = n\Bigg(\frac{\frac{N_hS_h}{\sqrt{c_h}} } {∑_{l=1}^ H \frac{N_lS_l}{\sqrt{c_l}}} \Bigg)\tag{6.} \]

Si \(\small S_h/√c_h = S_l/√c_l\) per a tots els estrats h i l, aleshores (1.)simplifica l’assignació proporcional amb \(\small n_h = nN_h/N\). En cas contrari, l’assignació és desproporcional: un o més dels estrats estan sobremostrejats en relació amb la seva proporció de la població. Per a estrats sobremostrejats, \(\small n_h/n > N_h/N\). L’assignació òptima especifica una mida de mostra més gran en un estrat si:

  • L’estrat representa una gran part de la població (\(\small N_h\) és gran).
  • La variància dins de l’estrat (\(\small S_h^2\)) és gran; mostrem més unitats per compensar l’heterogeneïtat.
  • El mostreig a l’estrat és econòmic (ch és petit).

De vegades, l’aplicació de la fórmula d’assignació òptima de l’equació (1.) fa que un o més dels \(n_h\) “òptims” siguin més grans que la mida de la població \(N_h\) en aquests estrats. En aquest cas, s’agafa una mida de mostra de \(N_h\) en aquests estrats i després s’aplica (1.) de nou amb els estrats restants.

L’assignació de Neyman és un cas especial d’assignació òptima, que s’utilitza quan els costos en els estrats (però no les variàncies) són aproximadament iguals. Sota l’assignació de Neyman, \(\small n_h\) és proporcional a \(\small N_hS_h\). Si les variàncies \(S_h^2\) s’especifiquen correctament, l’assignació de Neyman donarà un estimador amb una variància més petita que l’assignació proporcional.

Quina assignació utilitzar?

L’assignació proporcional és una bona opció si volem que la mostra sigui una versió en miniatura de la població. Cada unitat de la mostra té un pes d’aproximadament \(\small N/n\), igual que en un SRS, i representa aproximadament el mateix nombre d’unitats de la població. Les estimacions d’una mostra aleatòria estratificada assignada proporcionalment solen tenir variàncies més petites que les estimacions corresponents d’un SRS de la mateixa mida. La mostra estratificada es veu obligada a reflectir exactament la població respecte a les variables d’estratificació. Les distribucions de mostreig de les variables que estan associades amb les variables d’estratificació es mantenen i també s’acosten a les seves distribucions de població.

Una mostra assignada proporcionalment sovint “sembla” més representativa que un SRS. La mostra de l’exemple es distribueix entre les regions proporcionalment a la mida de la seva població. En un SRS, el nombre de comtats mostrejats de cada regió és una variable aleatòria i varia d’una mostra a una altra. L’SRS de l’exemple té 24 comtats del nord-est. Un SRS diferent seleccionat de la població pot tenir un nombre diferent de comtats del nord-est. Fins i tot és possible (encara que improbable) que un SRS no tingui cap comtat del nord-est. En canvi, cada mostra possible d’aquest disseny assignat proporcionalment tindrà exactament 21 comtats del nord-est.

Si \(\small y\) està relacionat amb les variables d’estratificació (és a dir, les mitjanes poblacionals \(\small\bar y_{h\mathcal U}\) difereixen entre els estrats), s’espera que la mostra estratificada assignada proporcionalment s’assembli més a la població que un SRS de la mateixa mida.

L’assignació proporcional no millora la precisió de les estimacions per a variables que no estan relacionades amb les variables d’estratificació, però no fa cap mal.

Les assignacions desproporcionals especifiquen el sobremostreig d’un o més dels estrats. Sovint hi ha molt bones raons per sobremostrejar alguns estrats. És possible que vulgueu garantir que les estimacions calculades a partir d’estrats individuals aconsegueixin un grau de precisió especificat. O podeu utilitzar l’assignació de Neyman per sobremostrejar estrats que es creu que tenen altes variàncies.

Però una assignació desproporcional és més complicada, i voleu assegurar-vos que els guanys d’eficiència valguin la pena renunciar a la simplicitat i la propietat d’autoponderació de l’assignació proporcional.

Una mostra estratificada amb assignació desproporcional és representativa, en el sentit que es pot utilitzar per estimar qualsevol quantitat numèrica que es pugui calcular a partir de la població, però no és una rèplica a petita escala de la població. Cal utilitzar els pesos de mostratge quan es representen gràficament les dades i es calculen les estimacions; en cas contrari, les estimacions seran esbiaixades. P. ex., si mostregem 200 homes i 200 dones d’una població de 20.000 homes i 5.000 dones, cada home mostrejat representa 100 homes de la població i cada dona mostrejada representa 25 dones de la població. Si els homes tendeixen a ser més alts que les dones i informem de la mitjana de la mostra de les 400 persones mostrejades, ignorant els pesos, la vostra estimació de l’alçada mitjana de la població serà massa petita.

L’assignació de Neyman s’especifica en els estrats de sobremostratge que tenen variàncies \(\small S_h^2\) més altes. Això redueix la variància de \(\small y_{str}\) per a la resposta particular y considerada per a l’assignació, però no necessàriament per a altres variables de resposta.

Determinació de la mida total de la mostra

La mida total de la mostra \(\small n\) per a una mostra aleatòria estratificada hauria de ser prou gran per aconseguir la precisió desitjada per a les variables clau. Després de construir els estrats i assignar les observacions als estrats, es pot utilitzar l’equació (4.) per determinar la mida de la mostra necessària per aconseguir un marge d’error preespecificat \(\small e\). Com hem vist a (6.), els mètodes d’assignació proporcional i òptima especifiquen les assignacions relatives \(\small n_h/n\), així que escrivim el marge d’error \(\small e\) per al mostreig estratificat com a funció de les assignacions relatives. Definim \[ \small v = ∑_{h=1}^H \frac n{n_h}\bigg(\frac{N_hS_h}N \bigg)^2\tag{7.} \] i escribim \[ \small e=...= z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{v}n{}-\sum_{h=1}^H\frac{N_hS_h^2}{N^2}}\tag{8.} \] Resolent per \(n\), queda \[ \small n = \frac{v z^2_{α/2}}{e^2+z^2_{α/2}∑_{h=1}^H\frac{N_hS_h^2}{N^2}} = \frac{n_0} {1+ \frac{n_0}N∑_{h=1}^H\frac{N_h}N \frac{S_h^2}v},\tag{9.} \] on \(\small n_0 = z_{2α/2}\frac{v}{e^2}\) és la mida de la mostra que s’utilitzaria si es poguessin ignorar totes les fpcs de l’estrat. La mida de la mostra per a un SRS, és a dir \[ \small n = \frac{n_0}{1+\frac {n_0} N} = \frac{z_{α/2}^2 S^2}{e^2+\frac{z_{α/2}^2S^2}N} \] (veure fórmula (2.) del capítol anterior de la sèrie: Tècniques de mostreig: mostres aleatòries simples (SRS)) és un cas especial de (9.) quan \(\small H = 1\).

La quantitat \(v\) a (7.) es pot considerar com una variabilitat “mitjana” per unitat en una mostra aleatòria estratificada amb l’assignació especificada, igual que \(\small S^2\), la variància de la població al voltant d’una població no estratificada4, la variabilitat per unitat en un SRS. Si les fpcs de l’estrat són properes a 1, aleshores \(\small V(\bar y_{str}) ≈ v/n\), mentre que la variància de la mitjana d’un SRS de la mateixa mida és \(\small V (\bar y_{SRS}) ≈ S^2/n\).

Amb assignació proporcional, \(\small v = ∑_{h=1}^H(N_h/N)S_h^2\) és una mitjana ponderada de les variàncies dins de l’estrat i, per tant, normalment serà més petita que la variància global de la població \(S^2\).

Quan es poden ignorar les fpc, la mida de la mostra necessària per aconseguir el marge d’error \(e\) per al mostreig estratificat es pot calcular com a \((\small n_{SRS})v/S^2\), on \(\small n_{SRS}\) és la mida de la mostra calculada per a un SRS a (2.31). Si \(\small v < S^2\), com gairebé sempre passarà per a l’assignació proporcional (i per a algunes variables amb assignació òptima), aleshores el mostreig estratificat permet aconseguir la precisió desitjada amb una mida de mostra més petita.

La reducció de la variància del mostreig estratificat pot ser més gran per a algunes variables que per a altres. La mida final de la mostra s’ha de determinar de manera que compleixi els requisits de precisió per a totes (o la majoria) de les variables clau de l’enquesta.

Exemple d’estratificació amb R

Un exemple conegut: la superfície agrícola als comtats d’EEUU

Si tornem a l’exemple que vam utilitzar al número anterior d’aquesta sèrie, les dades de base s’on un cens d-extensió de terra a grícola als comptat del EEUU:

library(SDAResources)
data("agsrs")
str(agpop)
## tibble [3,078 × 15] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ county  : chr [1:3078] "ALEUTIAN ISLANDS AREA" "ANCHORAGE AREA" "FAIRBANKS AREA" "JUNEAU AREA" ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "$"
##  $ state   : chr [1:3078] "AK" "AK" "AK" "AK" ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "$"
##  $ acres92 : num [1:3078] 683533 47146 141338 210 50810 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ acres87 : num [1:3078] 726596 59297 154913 214 85712 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ acres82 : num [1:3078] 764514 256709 204568 127 98035 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ farms92 : num [1:3078] 26 217 168 8 93 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ farms87 : num [1:3078] 27 245 175 8 119 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ farms82 : num [1:3078] 28 223 170 12 137 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ largef92: num [1:3078] 14 9 25 0 9 25 24 40 6 9 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ largef87: num [1:3078] 16 10 28 0 18 32 37 48 10 11 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ largef82: num [1:3078] 20 11 21 0 17 32 48 43 10 16 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ smallf92: num [1:3078] 6 41 12 5 12 8 90 9 6 43 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ smallf87: num [1:3078] 4 52 18 4 18 19 91 21 10 44 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ smallf82: num [1:3078] 1 38 25 8 19 17 95 36 15 64 ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "BEST"
##  $ region  : chr [1:3078] "W" "W" "W" "W" ...
##   ..- attr(*, "format.sas")= chr "$"
##  - attr(*, "label")= chr "AGPOP                           "

en què vam extreure un SRS per estimar el nombre mitjà d’acres agrícoles per comtat. Tot i que vam generar escrupolosament un SRS, algunes zones del país estaven sobrerepresentades i d’altres no estaven representades en absolut. Agafar una mostra estratificada pot proporcionar un cert equilibri a la mostra en la variable d’estratificació.

agsrs %>% 
  summarise(n=n(),sup= sum(acres92), .by = region)
## # A tibble: 4 × 3
##   region     n      sup
##   <chr>  <int>    <dbl>
## 1 S        130 26812026
## 2 W         39 23348543
## 3 NC       107 37481245
## 4 NE        24  1727300

L’SRS en aquell exemple va mostrar una àmplia gamma de valors per a \(\small y_i\), el nombre d’acres dedicats a granges al comtat \(i\) el 1992. Es podria conjecturar que part de la gran variabilitat sorgeix perquè els comtats de l’oest dels Estats Units són més grans i, per tant, tendeixen a tenir valors més grans de \(\small y\), que els comtats de l’est dels Estats Units.

agsrs %>% 
  ggplot(aes(x=acres92)) +
  geom_histogram(bins = 10) +
  facet_wrap(~region) +
  theme_bw()

Per a aquest exemple, utilitzem les quatre regions censals dels Estats Units (nord-est, centre-nord, sud i oest) com a estrats. L’SRS de l’exemple antic va mostrejar aproximadament el 10% de la població; per poder comparar els resultats de la mostra estratificada amb l’SRS, també mostregem aproximadament el 10% dels comtats de cada estrat.

Amb R base

Les dades agpop contenen una variable d’estrat region que descriu la regió censal per a cada comtat de la població i pren els valors North Central (NC), Northwest (NE), South (S) i W (W). El codi següent calcula els recomptes de població (\(\small N_h\)) per a la variable region amb la funció table.

table(agpop$region)
## 
##   NC   NE    S    W 
## 1054  220 1382  422

Podem utilitzar la informació sobre la regió per assignar una mostra estratificada.

Assignació (allocation) proporcional.

Amb l’assignació proporcional, les mides de la mostra d’estrat són proporcionals a les mides de l’estrat de població \(\small N_h\). Una assignació proporcional és fàcil de calcular en R; simplement multipliqueu \(\small N_h/N\) per la mida de mostra desitjada. Per exemple, la regió NC té 1054 comtats i la població té 3078 comtats. Per a una mostra amb n = 300, l’assignació proporcional seleccionarà 300∗1054/3078 = 103 comtats de la regió NC. Els valors de propalloc són fraccions, de manera que els arrodonem als enters més propers per obtenir la mida de la mostra.

  1. Calcular la proporció de cada estrat en la població
popsize <- table(agpop$region)
  1. Distribuir la mostra segons els la proporció poblacional
propalloc <- 300*popsize/sum(popsize)
propalloc
## 
##       NC       NE        S        W 
## 102.7290  21.4425 134.6979  41.1306
  1. Arrodonir al número sencer més proper
propalloc_int <- round(propalloc)
propalloc_int
## 
##  NC  NE   S   W 
## 103  21 135  41
  1. Controlar que la suma dels strata de la mostra sigui 300
sum(propalloc_int) 
## [1] 300

Assignació de Neyman.

Per a l’assignació de Neyman, cal proporcionar informació addicional sobre les variàncies de l’estrat. De vegades, es disposa d’informació sobre una variable relacionada amb les respostes clau de l’enquesta del marc de mostreig, o de vegades es disposa d’informació sobre les variàncies d’un estudi pilot o d’enquestes similars que s’han dut a terme. En altres casos, és possible que calgui fer una conjectura sobre les variàncies de l’estrat.

A l’exemple següent, suposem que el planificador de l’enquesta no disposa de les variàncies poblacionals reals i introduïm conjectures per a les variàncies relatives dels estrats.

Per exemple, la variància a l’oest s’estableix al doble de la variància per al sud. Utilitzant el vector de mida de la població que es va calcular al codi anterior, tenim:

# La variàncies estimades
stratvar <- c("NC"=1.1,"NE"=0.8,"S"= 1.0,"W"= 2.0)
# Càlcul i arrodoniment dels pesos
neymanalloc_int <- round(300 * (popsize * sqrt(stratvar)) / sum(popsize*sqrt(stratvar)))

neymanalloc_int
## 
##  NC  NE   S   W 
## 101  18 126  55
sum(neymanalloc_int)
## [1] 300

Assignació òptima (optimal allocation)

De manera similar es poden establir uns costos relatius en el mostreig de cada estrat

costrel <- c("NC"= 1.4, "NE"= 1.0, "S"= 1.0, "W"= 1.8)

# Càlcul i arrodoniment dels pesos
optalloc_int <- round(300*(popsize*sqrt(stratvar/costrel))/sum(popsize*sqrt(stratvar/costrel)))

optalloc_int
## 
##  NC  NE   S   W 
##  95  20 140  45
sum(optalloc_int)
## [1] 300
as.data.frame(rbind(popsize,propalloc_int,neymanalloc_int,optalloc_int)) %>% 
  mutate(Assignació= c("Població","Proporcional","Neyman","Òptima")) %>% 
  select(5,1:4) %>% 
  rowwise() %>% 
  mutate(Total=sum(c_across(2:5))) %>% 
  flextable::flextable() %>% 
  flextable::add_header_lines("Comparació mètodes d'assignació: comtats assignats a cada regió")

Comparació mètodes d'assignació: comtats assignats a cada regió

Assignació

NC

NE

S

W

Total

Població

1,054

220

1,382

422

3,078

Proporcional

103

21

135

41

300

Neyman

101

18

126

55

300

Òptima

95

20

140

45

300

Other allocation methods

Les mides de mostra especificades pels mètodes proporcional, de Neyman i òptim són només orientatives. Podeu establir les mides de mostra dels estrats a qualsevol valor que satisfaci les vostres necessitats de recerca. Per exemple, si voleu tenir una alta precisió per comparar mitjanes d’estrats, podeu seleccionar el mateix nombre d’observacions de cada estrat.

Hi ha altres funcions a R que podeu utilitzar per a l’assignació amb dades estratificades, com ara les funcions strAlloc() del paquet PracTools (Valliant et al., 2020) i optiallo() del paquet optimStrat (Bueno, 2020). El paquet SamplingStrata (Barcaroli, 2014; Barcaroli et al., 2020) proporciona funcions R per determinar l’estratificació i l’assignació òptimes que aconseguiran precisions predeterminades per a múltiples variables y. Per exemple, podeu utilitzar el paquet per dissenyar una estratificació que garanteixi que els coeficients de variació per a cinc variables clau no superin 0,05. L’estratificació per paquets (Baillargeon i Rivest, 2011; Rivest i Baillargeon, 2017) conté funcions per determinar els límits dels estrats quan la variable d’estratificació és contínua.

Selecció d’una mostra estratificada amb R

Amb la funció sample() de R base

Com hem comentat al número anterior d’aquesta sèrie, la funció sample() es pot utilitzar per seleccionar un SRS. Per seleccionar una mostra aleatòria estratificada, seleccionem un SRS independentment de cada estrat.

Les dades d’agpop contenen la variable d’estrat, region, que descriu la regió censal per a cada comtat de la població. En l’exemple següent, utilitzem l’assignació proporcional que hem vist per dividir les unitats n = 300 entre els quatre estrats, és a dir, seleccionant 103, 21, 135, 41 comtats de les regions NC, NE, S, W, respectivament.

Seleccionar una SRS sense substitució de cada region emprant l’assignació proporcional, amb mida total n=300, que hem preparat abans

N <- nrow(agpop)
noms_region <- names(propalloc_int)
mida_mostres <- propalloc_int

set.seed(108742) # Per poder replicar
index <- NULL
for (i in 1:length(mida_mostres)) {
index <- c(index, sample((1:N)[agpop$region == noms_region[i]],
                        size=mida_mostres[i],
                        replace=F))
}

mostrastrat <- agpop[index,] # Mostra estratificada

Control: veure si hem obtingut els estrats amb la mida correcta

table(mostrastrat$region)
## 
##  NC  NE   S   W 
## 103  21 135  41

Primeres files de la mostra estratificada

head(mostrastrat)
## # A tibble: 6 × 15
##   county state acres92 acres87 acres82 farms92 farms87 farms82 largef92 largef87
##   <chr>  <chr>   <dbl>   <dbl>   <dbl>   <dbl>   <dbl>   <dbl>    <dbl>    <dbl>
## 1 ISANT… MN     131563  142998  153003     680     817     947       18       14
## 2 DEFIA… OH     196759  206905  210781     830     987    1033       25       20
## 3 ATCHI… KS     245099  233619  234730     686     694     768       55       42
## 4 DES M… IA     192467  210843  224770     681     753     815       33       30
## 5 DUNN … ND    1352738 1358843 1397141     650     733     697      358      368
## 6 LAKE … MN     103665  118959  119296     176     222     230       30       35
## # ℹ 5 more variables: largef82 <dbl>, smallf92 <dbl>, smallf87 <dbl>,
## #   smallf82 <dbl>, region <chr>

Aquest codi senzill utilitza un for-loop per seleccionar un SRS de cada estrat (definit pel subconjunt que té una regió igual al nom de l’estrat) al seu torn; alternativament, es podria utilitzar la funció tapply o escriure una funció de R personalitzada per fer-ho sense loop.

El vector que conté les mides de la mostra ha d’estar en el mateix ordre que el vector que dóna els noms dels estrats.

Amb la funció strata() de la lliberia sampling

Una alternativa és utilitzar la funció strata() per seleccionar una mostra aleatòria estratificada. Aquesta funció es troba al paquet de mostreig (Tillé i Matei, 2021), que ja tenim instal·lat.

Primer, cal ordenar les dades per la variable d’estratificació region abans de seleccionar la mostra. A continuació, cridr la funció strata amb les dades ordenades agpop2 i la variable d’estratificació region amb el primer argument agpop2 i el segon argument stratanames="region". També podeu utilitzar un vector de variables per definir els estrats, com ara stratanames=c("A","B"), si els estrats estan formats per diverses variables. Afegiu la informació sobre el nombre de comtats que s’han de seleccionar dins de cada estrat mitjançant size=c(103,21,135,41) a la funció strata. Finalment, triar el mètode per seleccionar la mostra dins de cada estrat; per a aquest capítol fem servir SRS sense substitució (method="srswor") o SRS amb substitució (method="srswr").

Preparació del data set

# Ordenar la població segons stratum
agpop2<-agpop[order(agpop$region),]


# Assegurar-se que l'argument "size" tingui el mateix ordre que la variable estratificada
unique(agpop2$region)
## [1] "NC" "NE" "S"  "W"
names(propalloc_int) # el vector propalloc_int és el que entrarà a "size"
## [1] "NC" "NE" "S"  "W"

Selecció de les unitat de la mostra estratificada

Emprarem doncs la funció strata() per seleccionar les unitats de la mostra, generant un index

index2 <- sampling::strata(agpop2,
                           stratanames=c("region"),
                           size=propalloc_int, # Mida dels "strata"
                           method="srswor") # Sense substitució

Visualitzem les primeres files de l’índex (index2) creat

head(index2)
##    region ID_unit       Prob Stratum
## 2      NC       2 0.09772296       1
## 9      NC       9 0.09772296       1
## 27     NC      27 0.09772296       1
## 36     NC      36 0.09772296       1
## 42     NC      42 0.09772296       1
## 43     NC      43 0.09772296       1

El data frame index2 conté les variables d’estrat, els identificadors de les unitats seleccionades per formar part de la mostra (ID_unit) i la probabilitat d’inclusió de cada unitat de la mostra (Ptob).

Controlem el nombre de comtats seleccionats per a cada region

table(index2$region)
## 
##  NC  NE   S   W 
## 103  21 135  41

i veiem que coincideix amb la nostra assignació realitzada inicialment i fixada per l’objecte propalloc_int.

Extracció de les unitats mostrejades

A continuació, la funció getdata extreu les unitats mostrejades de les dades de població.

mostrastrat2 <- sampling::getdata(agpop2,index2) # extract the sample

head(mostrastrat2)
##             county state acres92 acres87 acres82 farms92 farms87 farms82
## 2     ADAMS COUNTY    IA  239800  243607  254071     643     688     737
## 9    BREMER COUNTY    IA  236668  235086  250402    1058    1140    1287
## 27  DECATUR COUNTY    IA  261494  278714  300684     648     715     769
## 36  FREMONT COUNTY    IA  302352  308796  306786     596     719     771
## 42   HARDIN COUNTY    IA  332358  337990  355823     986    1065    1208
## 43 HARRISON COUNTY    IA  399155  387190  408601     919    1024    1192
##    largef92 largef87 largef82 smallf92 smallf87 smallf82 region ID_unit
## 2        38       32       21       40       50       33     NC       2
## 9        25       18       11       96      116      109     NC       9
## 27       52       54       56       20       34       37     NC      27
## 36       91       72       51       37       59       50     NC      36
## 42       56       36       42       90      115      132     NC      42
## 43       88       62       51       60       60       66     NC      43
##          Prob Stratum
## 2  0.09772296       1
## 9  0.09772296       1
## 27 0.09772296       1
## 36 0.09772296       1
## 42 0.09772296       1
## 43 0.09772296       1

La funció strata() dóna les probabilitats d’incloure les unitats mostrals però no els pesos.

Els pesos del mostreig es poden calcular prenent el recíproc de les probabilitats d’inclusió. Quan es calculen els pesos per a una mostra aleatòria estratificada

  1. Controlar que no hi hagi probabilitat = 0
sum(mostrastrat2$Prob <= 0)
## [1] 0
  1. Calcular el pesos
# El pes és igual al recíproc de la probabilitat de l'element de la mostra
mostrastrat2$pes <- 1 / mostrastrat2$Prob 
head(mostrastrat2)
##             county state acres92 acres87 acres82 farms92 farms87 farms82
## 2     ADAMS COUNTY    IA  239800  243607  254071     643     688     737
## 9    BREMER COUNTY    IA  236668  235086  250402    1058    1140    1287
## 27  DECATUR COUNTY    IA  261494  278714  300684     648     715     769
## 36  FREMONT COUNTY    IA  302352  308796  306786     596     719     771
## 42   HARDIN COUNTY    IA  332358  337990  355823     986    1065    1208
## 43 HARRISON COUNTY    IA  399155  387190  408601     919    1024    1192
##    largef92 largef87 largef82 smallf92 smallf87 smallf82 region ID_unit
## 2        38       32       21       40       50       33     NC       2
## 9        25       18       11       96      116      109     NC       9
## 27       52       54       56       20       34       37     NC      27
## 36       91       72       51       37       59       50     NC      36
## 42       56       36       42       90      115      132     NC      42
## 43       88       62       51       60       60       66     NC      43
##          Prob Stratum      pes
## 2  0.09772296       1 10.23301
## 9  0.09772296       1 10.23301
## 27 0.09772296       1 10.23301
## 36 0.09772296       1 10.23301
## 42 0.09772296       1 10.23301
## 43 0.09772296       1 10.23301

Cal comprovar sempre que els pesos sumen les mides de la població de l’estrat. Si no sumen les mides de la població de l’estrat, vol dir que hi ha un error en algun lloc dels càlculs de ponderació.

mostrastrat2 %>% 
  summarise(`n calculat` = sum(pes), .by=region) # Pesos totals de la mostra
##   region n calculat
## 1     NC       1054
## 2     NE        220
## 3      S       1382
## 4      W        422
agpop2 %>% summarise(`n original` =n(), .by = region) # Freqències poblacionals
## # A tibble: 4 × 2
##   region `n original`
##   <chr>         <int>
## 1 NC             1054
## 2 NE              220
## 3 S              1382
## 4 W               422

Càlcul amb R d’estadístics a partir d’una mostra aleatòria estratificada

Com ja ben sabem5, la funció svydesign() del paquet survey es pot utilitzar per introduir la informació de la mostra aleatòria estratificada, i les funcions svymean() i svytotal() calcularan les mitjanes i els totals estimats a partir d’una mostra aleatòria estratificada.

El conjunt de dades agstrat és una mostra aleatòria estratificada extreta de les dades de població agpop amb assignació proporcional. Primer, vegem les dades.

data(agstrat)
str(agstrat)
## tibble [300 × 17] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ county  : chr [1:300] "PIERCE C" "JENNINGS" "WAYNE CO" "VAN BURE" ...
##  $ state   : chr [1:300] "NE" "IN" "OH" "MI" ...
##  $ acres92 : num [1:300] 297326 124694 246938 206781 78772 ...
##  $ acres87 : num [1:300] 332862 131481 263457 190251 85201 ...
##  $ acres82 : num [1:300] 319619 139111 268434 197055 89331 ...
##  $ farms92 : num [1:300] 725 658 1582 1164 448 ...
##  $ farms87 : num [1:300] 857 671 1734 1278 483 ...
##  $ farms82 : num [1:300] 865 751 1866 1464 527 ...
##  $ largef92: num [1:300] 54 14 20 23 6 34 163 56 86 216 ...
##  $ largef87: num [1:300] 54 13 19 17 5 32 180 36 78 204 ...
##  $ largef82: num [1:300] 42 14 16 9 5 23 176 42 69 193 ...
##  $ smallf92: num [1:300] 58 42 175 56 56 8 10 90 42 16 ...
##  $ smallf87: num [1:300] 67 36 186 66 49 19 24 115 38 37 ...
##  $ smallf82: num [1:300] 48 38 184 55 48 13 16 132 28 24 ...
##  $ region  : chr [1:300] "NC" "NC" "NC" "NC" ...
##  $ rn      : num [1:300] 805 241 913 478 1028 ...
##  $ strwt   : num [1:300] 10.2 10.2 10.2 10.2 10.2 ...
##  - attr(*, "label")= chr "AGSTRAT                         "

Fixar-se que, a més de la variables que ja sabem, la mostra inclou, strtwt, els pesos de cada unitat de la mostra.

Nombre de comtats de cada estrat

addmargins(table(agstrat$region)) # recompte de comtats per a cada stratum i total
## 
##  NC  NE   S   W Sum 
## 103  21 135  41 300

Control de la suma dels pesos de la mostra

Es comprova que la suma total dels pesos de la mostra coincideixi amb la mida poblacional

sum(agstrat$strwt)
## [1] 3078

Previsualització de les dades

La figura mostra un diagrama de caixa per a la variable acres92 (escaladament a milions d’acres). Podem veure que la regió oest té la mitjana més alta i la variabilitat més gran, mentre que la regió nord-est té la mitjana més baixa i la variabilitat més petita.

Tingueu en compte que podem utilitzar la funció diagrama de caixa en el codi següent perquè es pren un SRS dins de cada estrat i, a causa de l’assignació proporcional, la mostra és “aproximadament autoponderada” (significa que totes les dades tenen aprox. el mateix pes i no requereixen ajustaments estadístics addicionals per a reflectir la realitat poblacional; cosa que passa generalment en el disseny estratificat amb assignació proporcional); per a altres dissenys, s’haurien d’incorporar els pesos al gràfic com es mostra en el futur.

agstrat %>% 
  ggplot(aes(x=region,y= acres92/10^6, fill= region)) +
  geom_boxplot()+
  theme_bw() +
  labs(y="Milions d'acres") +
  theme(legend.position = "none")

Càlcul dels estadístics mitjana i total

Ara calcularem les estimacions de la mostra aleatòria estratificada. Utilitzem la funció svydesign() per introduir la informació del disseny i les funcions svymean() i svytotal() per calcular les estadístiques de l’enquesta. A continuació es mostra el codi per trobar estimacions per a les dades agstrat juntament amb la sortida de les estadístiques calculades.

Creació d’una variable de la mostra amb mides poblacionals de region

Aquest valor, el necessitarà la funció svydesign() per a calcular la Correcció de població finita (fpc):

# Necessitem una variable que contingui les mides del stratum 'region', per a emprar al fpc:
# Hi ha moltes maneres. Aquesta és una. Crea un vector que manté els noms:
popmida_obj <- c(table(agpop$region))

# Crea una variable a la mostra amb el valors de població a cada classe de 'region'
agstrat$popmida <- popmida_obj[agstrat$region]

table(agstrat$popmida) # Controlem la nova variable
## 
##  220  422 1054 1382 
##   21   41  103  135
table(agstrat$region)
## 
##  NC  NE   S   W 
## 103  21 135  41

Entrar informació de “disseny” a la funció svydesign()

dissStrat <- survey::svydesign(id = ~1, strata = ~region, weights = ~strwt, 
          fpc = ~popmida, data = agstrat)
dissStrat
## Stratified Independent Sampling design
## survey::svydesign(id = ~1, strata = ~region, weights = ~strwt, 
##     fpc = ~popmida, data = agstrat)

La sintaxi és similar a la d’un SRS. L’única diferència rau en els arguments de la funció svydesign(). Els arguments utilitzats per a l’estratificació són els següents:

  • id: Com per a un SRS, utilitzem id = ~1 per indicar que no hi ha agrupament.
  • strata: L’argument strata dóna el nom o noms de la variable que contenen la informació d’estratificació (aquí, la variable d’estratificació és region).
  • weights: Per al mostreig estratificat, utilitzem els pesos associats a les probabilitats de selecció a cada estrat. Aquest exemple té una mostra estratificada amb assignació proporcional, on els pesos són gairebé idèntics per a tots els estrats. En mostres amb estratificació desproporcionada, però, els pesos variaran entre els estrats i les estimacions calculades sense pesos estaran esbiaixades.
  • fpc: L’argument fpc especifica la variable que conté informació per calcular la correcció de població finita (fpc) a cada estrat. La manera més fàcil de fer-ho és crear una nova variable al marc de dades que contingui les mides dels estrats de la població. Si ometeu l’argument fpc (i encara incloeu l’argument pesos), les estimacions de mitjanes i totals són les mateixes, però les estimacions d’error estàndard són sense la correcció de població finita.

Càlcul dels estadístics

Tota la feina d’especificació de la informació del disseny es fa a la funció svydesign(); després d’haver definit el disseny allà, les funcions svymean i svytotal s’utilitzen exactament com ja sabem.

Mitjana

smean<-survey::svymean(~acres92, dissStrat)
smean
##           mean    SE
## acres92 295561 16380

Intervals de confiança

confint(smean, level=.95, df= survey::degf(dissStrat)) #  notar que df = n-H = 300-4
##          2.5 %   97.5 %
## acres92 263325 327796.5
## 2.5 % 97.5 %
## acres92 263325 327796.5

Graus de llibertat

Com acabem de veure al codi anterior, cal tenir en compte que s’utilitzen 296 graus de llibertat \((\small df = n − H)\) per als intervals de confiança. Els df també es poden trobar aplicant la funció degf() a l’objecte de disseny dissStrat, és a dir, degf(dissStrat). Si es volen calcular intervals de confiança que es basin en la distribució normal, simplement cal ometre l’argument df a la funció confint().

En tot cas, si la mostra té poques observacions, hem d’especificar els graus de llibertat i utilitzar la distribució \(t\) per calcular els intervals de confiança.

survey::degf(dissStrat) # Mostra els df del disseny
## [1] 296

Total i els corresponents Error estàndard i IC

# total i SE
stotal <- survey::svytotal(~acres92, dissStrat)
stotal
##             total       SE
## acres92 909736035 50417248
# Cácul de  l'Interval de conficança amb DF
confint(stotal, level=.95,df= survey::degf(dissStrat))
##             2.5 %     97.5 %
## acres92 810514350 1008957721

Pesos i arguments fpc

En aquest exemple, hem proporcionat tant pesos com arguments fpc a la funció svydesign, però per a una mostra aleatòria estratificada sense cap resposta, la funció svydesign() calcularà els pesos a partir de la informació fpc i la mida de la mostra del conjunt de dades. L’objecte de disseny dstrfpc del codi següent dóna com a resultat els mateixos estadístics que l’objecte de disseny dissStr (amb els pesos i els arguments fpc, ambdós inclosos) que hem utilitzat anteriorment. Si s’inclou l’argument pesos però s’omet l’argument fpc, es produeixen errors estàndard que es calculen sense la fpc. (No ometre pesos i fpc alhora, ja que la funció svydesign() assumirà que tots els pesos són iguals.).

  1. Ometent pesos: ja que \(\small\ w_h=t_h/n_h\)
dstrfpc <- survey::svydesign(id = ~1, strata = ~region, fpc = ~popmida, data = agstrat)
survey::svymean(~acres92, dstrfpc)
##           mean    SE
## acres92 295561 16380
  1. Ometent fpc: SE serà sense el factor fpc
dstrwt <- survey::svydesign(id = ~1, strata = ~region, weights = ~strwt, data = agstrat)
survey::svymean(~acres92, dstrwt)
##           mean    SE
## acres92 295561 17241

Càlcul de les mitjanes i les variàncies de l’estrat.

La funció svyby() calcularà les estadístiques i els seus errors estàndard per a subgrups de les dades. Aquí la fem servir per calcular les mitjanes i els totals de l’estrat. El primer argument de svyby() és la fórmula de la variable o variables per a les quals es volen estadístiques, i el segon argument (by=) és la variable que defineix els grups.

A continuació, enumereu l’objecte de disseny i el nom de la funció que calcula les estadístiques. Definiu keep.var=TRUE per mostrar els errors estàndard de les estadístiques.

  1. Calcular les mitjanes per estrat:
survey::svyby(~ acres92, by=~ region, design = dissStrat, 
              FUN = survey::svymean, keep.var = T)
##    region   acres92       se
## NC     NC 300504.16 16107.59
## NE     NE  97629.81 18149.49
## S       S 211315.04 18925.35
## W       W 662295.51 93403.65
  1. Calcular els totals per estrat:
survey::svyby(~ acres92, by=~ region, design = dissStrat, 
              FUN = survey::svytotal, keep.var = T)
##    region   acres92       se
## NC     NC 316731380 16977399
## NE     NE  21478558  3992889
## S       S 292037391 26154840
## W       W 279488706 39416342

Comprovació per fórmula

Si es vol comprovar els càlculs per fórmula, també es poden calcular estadístics directament per a cada estrat utilitzant la funció tapply() o les del paquet dplyr i després utilitzar les fórmules conegudes per calcular els errors estàndard per a cada mitjana o total estimat de l’estrat.

Les variàncies de les mitjanes de l’estrat es calculen amb la fórmula \(\small (1 − n_h/N_h)s_h^2/n_h\), on \(\small n_h\) i \(\small N_h\) són les mides de la mostra i la població, i \(\small s2h\) és la variància de la mostra dins de l’estrat \(\small h\).

  1. Mitjanes
tapply(agstrat$acres92,agstrat$region,mean)
##        NC        NE         S         W 
## 300504.16  97629.81 211315.04 662295.51
agstrat %>% summarise(str.mitj=mean(acres92), .by = region)
## # A tibble: 4 × 2
##   region str.mitj
##   <chr>     <dbl>
## 1 NC      300504.
## 2 NE       97630.
## 3 S       211315.
## 4 W       662296.
  1. Variàncies
# tapply(agstrat$acres92,agstrat$region,var) # Alternativa
strvar <- agstrat %>% summarise(str.var=var(acres92), .by = region) %>% pull(name = region)
strvar
##           NC           NE            S            W 
##  29618183543   7647472708  53587487856 396185950266
  1. Errors estàndard
sqrt((1-mida_mostres/popmida_obj)*strvar/mida_mostres)
## 
##       NC       NE        S        W 
## 16107.59 18149.49 18925.35 93403.65

Estimació de proporcions a partir d’una mostra aleatòria estratificada

Una proporció és un cas especial de la mitjana d’una variable que pren els valors 1 i 0.

Creant una dummy variable

La variable lt200k pren el valor 1 si acres92 < 200.000 i pren el valor 0 si acres92 ≥ 200.000. La mitjana de la variable lt200k estima la proporció d’explotacions que tenen menys de 200.000 acres. El total de la variable lt200k estima el nombre d’explotacions que tenen menys de 200.000 acres.

  1. Crear la variable factorial lt200k de 0 i 1
agstrat$lt200k <- rep(0,nrow(agstrat))
agstrat$lt200k[agstrat$acres92 < 200000] <- 1
  1. Tornar a executar svydesign(), perquè ara el data set té una altra variable
dissStrat <- survey::svydesign(id = ~1, strata = ~region, weights = ~strwt, 
          fpc = ~popmida, data = agstrat)
  1. Calcular proporcions, SE i Interval de confiança
# Proporció i SE
smeanp2 <- survey::svymean(~lt200k, dissStrat)
smeanp2
##           mean     SE
## lt200k 0.51391 0.0248
  1. Calcular IC
confint(smeanp2, level=.95,df= survey::degf(dissStrat))
##            2.5 %    97.5 %
## lt200k 0.4651188 0.5627107
  1. Calcular totals i SE
stotalp<-survey::svytotal(~lt200k, dissStrat)
stotalp
##         total     SE
## lt200k 1581.8 76.318
  1. Calcular l’IC del total
confint(stotalp, level=.95,df= survey::degf(dissStrat))
##           2.5 %   97.5 %
## lt200k 1431.636 1732.024

Definint una variable com a factor

També es pot calcular proporcions i totals de variables categòriques definint-les com a factors, ja sigui declarant la variable com a variable de factor al data frame o a en l’execució de funció de svymean(). Aquí definim la variable lt200kf com a variable de factor al conjunt de dades.

  1. Crear una variable factorial lt200kf a partir de lt200k
agstrat$lt200kf <- factor(agstrat$lt200k)
  1. Tornar a executar svydesign(), perquè ara el data set té una altra variable
dissStrat <- survey::svydesign(id = ~1, strata = ~region, fpc = ~popmida,
weights = ~strwt, data = agstrat)
  1. Calcular proporció i CE
# calculate proportion, SE and confidence interval
smeanp2<-survey::svymean(~lt200kf, dissStrat)
smeanp2
##             mean     SE
## lt200kf0 0.48609 0.0248
## lt200kf1 0.51391 0.0248
  1. Calcular IC de las proporciones
confint(smeanp2, level=.95,df= survey::degf(dissStrat))
##              2.5 %    97.5 %
## lt200kf0 0.4372893 0.5348812
## lt200kf1 0.4651188 0.5627107
  1. Calcular total i SE
# calculate total, SE and CI
stotalp2 <- survey::svytotal(~lt200kf, dissStrat)
stotalp2
##           total     SE
## lt200kf0 1496.2 76.318
## lt200kf1 1581.8 76.318
  1. Calcular l’IC del total
confint(stotalp2, level=.95,df= survey::degf(dissStrat))
##             2.5 %   97.5 %
## lt200kf0 1345.976 1646.364
## lt200kf1 1431.636 1732.024

  1. Recordem alguns conceptes bàsics: 1. Variància (\(\small σ²\)): \(\small \frac{\sum (x-\mu )^{2}}{n}\). 2. Variància de la mitjana: és el quadrat de l’Error estàndard: \(\small \frac{\sigma ^{2}}{n}\). 3. Desviació estàndard: (\(\small σ\)): \(\small \sqrt{\text{Variance}}\). Error estàndard (SE): \(\small \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\).↩︎

  2. Veure número anterior: Tècniques de mostreig: mostres aleatòries simples (SRS): \[\small\hat V(\hat t) = N^2\bigg(1-\frac nN \bigg)\frac {s^2}{n}\]↩︎

  3. Veure S.L. Lohr, 2022, pàg. 159, per a l’explicació detallada.↩︎

  4. \[ \small S^2 = \frac1{N−1}∑_{i=1}^N (y_i −\overline y_\mathcal U )^2. \]↩︎

  5. Tècniques de mostreig: mostres aleatòries simples (SRS)↩︎